Estadística II

class: center middle main-title section-title-8 top-logo

.small[
# Errores de medición
]

.class-info[
 
**Sesión N° 12** 
**Estadísitica II**

.pull-right.small[
**Profesora** Valentina Andrade de la Horra 
**Apoyo docente** Nicolás Godoy 
**Ayudantes** Moira Martinez, Charo Astorga y Alberto Reyes
.tiny[Universidad Alberto Hurtado 
]
]

]

---
class: title title-inv-8

# Contenidos Sesión

.box-6.medium.sp-after-half[Error en variable dependiente]

.box-7.medium.sp-after-half[Error en variable independiente]

---
class: title title-inv-8
# Errores de medición

.box-inv-8[Hasta ahora solo hemos considerado casos en que las variables X e Y siempre están disponibles]

.box-inv-8[Sin embargo, en la mayoría de los casos no tenemos una variable exacta que nos interesa]

.box-inv-8[Las razones son diversas]

---
class: title title-inv-8

# Errores de medida

---

# Ejemplos

- Ingreso verdadero vs ingreso declarado

- Horas trabajadas a la semana vs promedio de horas trabajadas

- Percepciones de conflicto

---
class: title title-inv-8
# Errores de medición

.box-inv-8[Hablaremos de errores de medición en aquellos casos en que se utiliza una *medida imprecisa* como variable (*proxy*)]

.box-inv-8[**¿Qué consecuencias tiene esto sobre las estimaciones de MCO**?]

---
class: center middle main-title section-title-8 top-logo

# Variable dependiente

---
class: title title-inv-8

# Variable dependiente

- Considere el siguiente modelo

`$$y^* = \beta_0 + \beta_1 x + \mu$$`

- La variable que nos interesa es `$y^*$` pero solo tenemos una medida imprecisa de y

`$$y = y ^* + e$$`
`$$e = y - y^*$$`

- `$e$` es el error de medición

---
class: title title-inv-8

# Variable dependiente

.box-8[¿Qué pasa si estimamos la regresión con `$y$` en lugar de `$y^*$`
]

.box-8[Las propiedades de MCO **dependerán** de la relación entre `$e$` y las variables explicativas]

---
class: title title-inv-8

# Variable dependiente

$$ y ^* = y - e = \beta_0 + \beta_1 X + u$$

`$$y = \beta_0 + \beta_1 + v$$`

- `$v = u + e$`

---
class: title title-inv-8

# Insesgamiento

`$$\hat \beta_1 = \frac{Cov(x,y)}{Var(x)} = \frac{Cov(x, y^* + e)}{var(x)}$$`

Con una gran cantidad de datos se puede mostrar que

`$$\hat \beta_1 = \beta_1 + \frac{Cov(x, e)}{var(x)}$$`

---
class: title title-inv-8

# Insesgamiento

- En resumen, el error de medición en la variable dependiente puede causar **sesgo** en MCO, cuando el error esté relacionando con una o más variables explicativas

- **Si el error es independiente de las variables explicativas**, entonces MCO es apropiado.

- Por ejemplo, digitar mal

---
class: title title-inv-8

# Menos Eficiencia

- Sin embargo, el error de medición se traduce en una **mayor varianza del error**, lo que resulta en **varianzas mayores de los estimadores de `$\beta$`**

- Si `$e$` y `$u$` no están correlacionados

$$Var(y|X) = Var(u + e|X) = Var(u|x) + Var(e|x) $$

.box-8[Por lo tanto, los estimadores de MCO tendrán varianzas mayores]

---
class: center middle main-title section-title-8 top-logo

# Variable dependiente

---
class: title title-inv-8

# Variable independiente

- Considere el siguiente modelo

`$$y = \beta_0 + \beta_1 x^* + \mu$$`

- La variable que nos interesa es `$y^*$` pero solo tenemos una medida imprecisa de y

`$$x = x ^* + e$$`
`$$e = x - x^*$$`

- `$e$` es el error de medición

---
class: title title-inv-8

# Errores clásicos de variable

- `$E(e) = 0$`

- `$Cov(e,u) = 0$`

- `$Cov(e,x^*) = 0$`

---
class: title title-inv-8

# Variable independiente

`$$y = \beta_0 + \beta_1 (x- e) + u$$`
 
 `$$y = \beta_0 + \beta_1 x + v$$`
 
 - `$v = u - \beta_1 e$`
 
---
class: title title-inv-8

# Sesgo

`$$\hat \beta_1 =  \frac{Cov(x,y)}{Var(x)} = \frac{Cov(x^* + e, y)}{Var(x^* + e)}$$`

`$$\hat \beta_1 = \frac{\beta_1 Var(x^*)}{Var(x^*) + Var(e)}$$`

- El término que acompaña a `$\beta_1$` es menor a 1, por ello se dice que **atenua** el efecto de `$\beta_1$`

---
class: title title-inv-8

# Sesgo de atenuación

- El error de medición de una variable explicaiva nos lleva a **subestimar** el efecto de una variable

- A esto se le llama **sesgo de atenuación**

- La magnitud del sesgo depende de `$Var(x^*)$` y `$Var(e)$`

---
class: center middle main-title section-title-8 top-logo

# En resumen

---
class: title title-inv-8

# Resumen

- En la práctica, es *poco probable que podamos contar con una medicipon precisa de todas las variables del modelo*

- Bajo Errores clásicos de variable

- Un error en `$y^*$` no produce sesgo pero si menos eficiencia

- Un error en `$x^*$` produce sesgo de atenuación.

- **El sesgo de los coeficientes puede ir en cualquier dirección y es difícil de determinar**

---
layout: false
class: center middle main-title section-title-8 top-logo

.small[
# Errores de medición
]

.class-info[
 
**Sesión N° 12** 
**Estadísitica II**

]