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Error en variable dependiente

Error en variable independiente

Errores de medición

Hasta ahora solo hemos considerado casos en que las variables X e Y siempre están disponibles

Sin embargo, en la mayoría de los casos no tenemos una variable exacta que nos interesa

Las razones son diversas

Errores de medida

Errores de medición

Hablaremos de errores de medición en aquellos casos en que se utiliza una medida imprecisa como variable (proxy)

¿Qué consecuencias tiene esto sobre las estimaciones de MCO?

Variable dependiente

• Considere el siguiente modelo

$$y^* = \beta_0 + \beta_1 x + \mu$$

• La variable que nos interesa es $y^*$ pero solo tenemos una medida imprecisa de y

$$y = y ^* + e$$ $$e = y - y^*$$

• $e$ es el error de medición

Variable dependiente

Las propiedades de MCO dependerán de la relación entre (e) y las variables explicativas

Variable dependiente

$$y ^* = y - e = \beta_0 + \beta_1 X + u$$

$$y = \beta_0 + \beta_1 + v$$

• $v = u + e$

Insesgamiento

$$\hat \beta_1 = \frac{Cov(x,y)}{Var(x)} = \frac{Cov(x, y^* + e)}{var(x)}$$

Con una gran cantidad de datos se puede mostrar que

$$\hat \beta_1 = \beta_1 + \frac{Cov(x, e)}{var(x)}$$

Insesgamiento

• En resumen, el error de medición en la variable dependiente puede causar sesgo en MCO, cuando el error esté relacionando con una o más variables explicativas

• Si el error es independiente de las variables explicativas, entonces MCO es apropiado.

• Por ejemplo, digitar mal

Menos Eficiencia

• Sin embargo, el error de medición se traduce en una mayor varianza del error, lo que resulta en varianzas mayores de los estimadores de $\beta$

• Si $e$ y $u$ no están correlacionados

$$Var(y|X) = Var(u + e|X) = Var(u|x) + Var(e|x)$$

Por lo tanto, los estimadores de MCO tendrán varianzas mayores

Variable independiente

• Considere el siguiente modelo

$$y = \beta_0 + \beta_1 x^* + \mu$$

• La variable que nos interesa es $y^*$ pero solo tenemos una medida imprecisa de y

$$x = x ^* + e$$ $$e = x - x^*$$

• $e$ es el error de medición

Errores clásicos de variable

• $E(e) = 0$

• $Cov(e,u) = 0$

• $Cov(e,x^*) = 0$

Variable independiente

$$y = \beta_0 + \beta_1 (x- e) + u$$

$$y = \beta_0 + \beta_1 x + v$$

• $v = u - \beta_1 e$

Sesgo

$$\hat \beta_1 = \frac{Cov(x,y)}{Var(x)} = \frac{Cov(x^* + e, y)}{Var(x^* + e)}$$

$$\hat \beta_1 = \frac{\beta_1 Var(x^*)}{Var(x^*) + Var(e)}$$

• El término que acompaña a $\beta_1$ es menor a 1, por ello se dice que atenua el efecto de $\beta_1$

Sesgo de atenuación

• El error de medición de una variable explicaiva nos lleva a subestimar el efecto de una variable

• A esto se le llama sesgo de atenuación

• La magnitud del sesgo depende de $Var(x^*)$ y $Var(e)$

Resumen

• En la práctica, es poco probable que podamos contar con una medicipon precisa de todas las variables del modelo

• Bajo Errores clásicos de variable

• Un error en $y^*$ no produce sesgo pero si menos eficiencia

• Un error en $x^*$ produce sesgo de atenuación.

• El sesgo de los coeficientes puede ir en cualquier dirección y es difícil de determinar