Estadística II

.pull-right.small[
**Profesora** Valentina Andrade de la Horra 
**Apoyo docente** Nicolás Godoy 
**Ayudantes** Moira Martinez y Charo Astorga
.tiny[Universidad Alberto Hurtado 
]
]

]

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class: title title-inv-8

# Contenidos Sesión

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.box-2.medium.sp-after-half[Regresiones **lineal simple**]
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.box-8.medium.sp-after-half[**MCO** supuestos]
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.box-8.medium.sp-after-half[**MCO**: propiedades]

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name: basics

# Regresión **lineal** simple

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class: title title-2

# 1. Pregunta

.box-inv-2.medium.sp-after-half[**educación sobre salario**]

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class: title title-2

# 2. Formalizar el modelo teórico

`$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + u$$`

- `$y$` = datos sobre variable dependiente

- `$x_1$` = datos sobre variable independiente

- `$\beta_1$` = pendiente, parámetro que indica la relación de `$x$` e `$y$`

- `$\beta_o$` = intercepto

- `$u$` = error

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# Interpretación `$\beta_1$`

##Por cada **unidad** que cambie `$x$`, `$y$` va a cambiar en `$\beta_1$`, manteniendo **el resto de los factores constantes**.

`$$\triangle y = \beta_1 \triangle x  ~~~ si ~~\triangle u = 0$$`

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# Interpretación `$\beta_0$`

## Valor esperado o medio de `$y$` cuando `$x = 0$` (o en ausencia de variables explicativas)

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# Error `$u$`

## Contiene todos los factores **relevantes** que afectan a `$Y$` pero no son considerados en la regresión por ser **inobservables**

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# Pero, ¿cómo obtenemos los parámetros `$\beta$`

## Mínimos Cuadrados Ordinarios

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- Método que busca encontrar la mejor ecuación de la recta, dado un set de datos

- *Mínimos*: minimizan los residuos

- *Cuadrados*: residuos al cuadrado

- *Ordinarios*: es un método estándar

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class: title title-8
# Valor observado y valor predicho

- `$y_i$`: valor observado
- `$\hat{y_i}$`: valor predicho corresponde al valor que predecimos de `$y_i$` cuando `$x_{1i}$` toma un valor dado

`$$\hat{y_i} = \beta_o + \beta_1 x_{1i}$$`

- Hay un valor predicho para cada observación en la muestra

- ¿Qué significará la diferencia entre `$y_i$` e `$\hat{y_i}$`?

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# El residuo `$\hat{u_i}$`

## En particular nos interesará que sea la **suma de los residuos** al **cuadrado** sea lo más pequeño posible

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class: title title-8
# Distancia a recta regresión

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class: title title-8
# Suma de residuos al cuadrado

- Minimizamos la *suma de residuos al cuadrado* `$\sum_{i=1}^{n} \hat u_i^2$`

- Encontramos matemáticamente `$\hat{\beta_0}$` y `$\hat{\beta_1}$` tal que `$\sum_{i=1}^{n} \hat u_i^2$` sea lo más pequeño posible.

- Varios minutos después ⏱️📝 y ...

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## `$$\hat \beta_1 = \frac{\sum^n_{i=1} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}$$`

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## `$$\hat \beta_1 = \frac{\sum^n_{i=1} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2} = \frac{Cov(x_1,y)}{Var(x_1)}$$`

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## `$$\hat \beta_0 = \bar y = \hat{\beta_1} \bar x$$`

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# En resumen

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class: title title-8

# Estimación

| Datos | `$X, Y$` |
|---|---|
| **Calculos** | `$\bar{X} = \frac{\sum X}{n}$` |
| **Estimador** | `$\bar{\beta_1}$`|
| **Parametro verdadero** | `$\beta$` |

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class: title title-8

# Estimación: ejemplo

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```r
summary(modelo1)
```

```
## 
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ, data = wage1)
## 
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max 
## -5.3396 -2.1501 -0.9674 1.1921 16.6085 
## 
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
## (Intercept) -0.90485 0.68497 -1.321 0.187 
## educ 0.54136 0.05325 10.167 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 524 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1648,	Adjusted R-squared: 0.1632 
## F-statistic: 103.4 on 1 and 524 DF, p-value: < 2.2e-16
```

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class: center middle main-title section-title-8 top-logo

# Supuestos Modelo Regresión Lineal

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class: title title-8

# Supuesto 1

.box-8[Linealidad de parámetros]
.box-inv-8[Linealidad refiere a que la ecuación puede ser escrita como

`$$y = \beta_0 + \beta_1 x + u$$`]

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class: title title-8

# Supuesto 2

.box-8[Independencia de observaciones]
.box-inv-8[Se cuenta con una muestra aleatoria de tamaño `$n$` que representa la población]

---
class: title title-8

# Supuesto 3

.box-8[**Media condicional cero**]
.box-inv-8[Para todo valor de variable explicativa, el valor esperado del error u es cero

`$$E(u|x) = 0$$`]

---
## `$$E(u|x) = 0$$`

---

## `$$E(u|x) \neq 0$$`

---

## `$$E(u|x) \neq 0$$`

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class: title title-8

# Supuesto 5

.box-8[**Homocedasticidad**]
.box-inv-8[El error `$u$` tiene la misma **varianza** para cualquier valor de la `$X$`

`$$Var(u|x) = \sigma ^2$$`]

--
.box-inv-8[La varianza de y dado x es **constante**]

--
.box-8[Supuesto importante para la **inferencia** sobre los estimadores]
.box-inv-8[Si le tomas raíz a esta varianza obtienes el **error estándar**]

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# Propiedades de los estimadores

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class: title title-8

# Propiedad 1

.box-8[Insesgamiento de los estimadores de MCO]
.box-inv-8[$$E(\hat \beta_1) = \beta_1$$
`$$E(\hat \beta_0) = \beta_0$$`]

- Por *supuesto 1 a 3*

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class: title title-8

# Propiedad 2

- Por *supuesto 5*

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<center>
<img src="data:image/png;base64,#https://raw.githubusercontent.com/statistics-R/slides/main/img/05/01.png" alt="drawing" style="width:800px;"/>
</center>

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<center>
<img src="data:image/png;base64,#https://raw.githubusercontent.com/statistics-R/slides/main/img/05/03.png" alt="drawing" style="width:800px;"/>
</center>

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.pull-right.small[
**Profesora** Valentina Andrade de la Horra 
**Apoyo docente** Nicolás Godoy 
**Ayudantes** Moira Martinez y Charo Astorga
.tiny[Universidad Alberto Hurtado 
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