Estadística II

.pull-right.small[
**Profesora** Valentina Andrade de la Horra 
**Apoyo docente** Nicolás Godoy 
**Ayudantes** Moira Martinez y Charo Astorga
.tiny[Universidad Alberto Hurtado 
]
]

]

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class: title title-inv-8

# Contenidos Sesión

--
.box-2.medium.sp-after-half[Regresiones]
--
.box-8.medium.sp-after-half[Regresión **lineal** simple]
--
.box-8.medium.sp-after-half[**Mínimos Cuadrados Ordinarios**]

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name: basics

# Regresiones

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class: title title-2

# 1. ¿Qué efecto tiene (...)?

.box-inv-2.medium.sp-after-half[**educación sobre salario**]
--
.box-inv-3.small.sp-after-half[**gratuidad transporte público sobre**

**participación en elecciones**]
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.box-inv-4.small.sp-after-half[**ciclo económico sobre el ciclo de protestas sociales**]
--
.box-inv-5.medium.sp-after-half[**efecto del presupuesto de campañas políticas sobre el resultado de votaciones**]

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class: title title-2

# 2. Formalizar el modelo teórico

- **Regresión**: ecuaciones matemáticas que describen las relaciones.

`$$y = f(x)$$`
- ¿Qué es `$y$` y `$x$`?

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class: title title-2

# Parte esencial de la regresión

# Dos propósitos de las regresiones

.box-inv-8[En general, ¿cuál es el efecto de un año más de educación sobre el salario?]]
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class: center middle main-title section-title-8 top-logo

# ¿Y cómo hacemos una regresión?

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class: title title-8

# Cómo

- **Regresión**: ecuaciones matemáticas que describen las relaciones.

`$$y = f(x)$$`

1. Queremos hacer una **línea** que aproxime la relación entre X e y

2. Encontrar valores matemáticos para esas partes de la línea (efectos)

3. Interpretar la matemática

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class: title title-8

# Salario y educación

```
## # A tibble: 10 x 2
## salario educ
## <dbl> <int>
## 1 0.5 1
## 2 2 2
## 3 1 3
## 4 2.5 4
## 5 3 5
## 6 1.5 6
## 7 2 7
## 8 2.5 8
## 9 2 9
## 10 3 10
```

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## ¿Efecto de educación sobre salario?

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## 1. Ecuación: ¿Efecto de educación sobre salario?

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## 1. Ecuación: ¿Efecto de educación sobre salario?

<img src="data:image/png;base64,#04-slide_files/figure-html/cookies-loess-1.png" width="100%" style="display: block; margin: auto;" />
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##  1. Ecuación: ¿Efecto de educación sobre salario?

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class: title title-8

# 2. Relacionando con las matemáticas

`$$y = b + mx$$`

| y | Un número |
|---|---|
| **x** | **Un número** |
| **m** | **Pendiente** |
| **b** | **Intercepto** |

---
class: title title-8

# 2. Relacionando con las matemáticas
.pull-left[

$$
y = 2x - 1
$$

]

$$
y = -0.5x + 6
$$

]
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# 🥁🥁

---

# ¡Regresión lineal simple!

`$$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + u$$`

- `$y$` = datos sobre variable dependiente

- `$x_1$` = datos sobre variable independiente

- `$\beta_1$` = pendiente, parámetro que indica la relación de `$x$` e `$y$`

- `$\beta_o$` = intercepto

- `$u$` = error

---

# Interpretación `$\beta_1$`

##Por cada **unidad** que cambie `$x$`, `$y$` va a cambiar en `$\beta_1$`, manteniendo **el resto de los factores constantes**.

`$$\triangle y = \beta_1 \triangle x  ~~~ si ~~\triangle u = 0$$`

---

# Interpretación `$\beta_0$`

## Valor esperado o medio de `$y$` cuando `$x = 0$` (o en ausencia de variables explicativas)

---

# ¿ Error ? 😨

## ¡Sí! Contiene todos los factores **relevantes** que afectan a `$Y$` pero no son considerados en la regresión por ser **inobservables**

### Tiene un supuesto importantísimo que ya conoceremos (**media condicional cero**)

---

# Tres desafíos a tratar

1. No es una relación **exacta** entre `$x$` e `$y$` (Sesión 4)

2. ¿Cómo podemos estar seguros que estamos capturando la relación **ceteris paribus**? (Sesión 6)

3. ¿Cómo sabemos que realmente la mejor forma de representar la relación es **lineal**? (Sesión 9)

---
class: title title-8
# Regresión lineal simple

---

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class: title title-8
# Valor observado y valor predicho

- `$y_i$`: valor observado
- `$\hat{y_i}$`: valor predicho corresponde al valor que predecimos de `$y_i$` cuando `$x_{1i}$` toma un valor dado

`$$\hat{y_i} = \beta_o + \beta_1 x_{1i}$$`

- Hay un valor predicho para cada observación en la muestra

- ¿Qué significará la diferencia entre `$y_i$` e `$\hat{y_i}$`?

---

# El residuo `$\hat{u_i}$`

## En particular nos interesará que sea la **suma de los residuos** al **cuadrado** sea lo más pequeño posible

---
class: title title-8
# Distancia a recta regresión

---dis
class: title title-8
# Suma de residuos al cuadrado

`$$\sum_{i=1}^{n} \hat u_i^2 = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y_i}) ^2= \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1})^2$$`
- Encontramos matemáticamente `$\hat{\beta_0}$` y `$\hat{\beta_1}$` tal que `$\sum_{i=1}^{n} \hat u_i^2$` sea lo más pequeño posible.

- Varios minutos después ⏱️📝 y ...

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## `$$\hat \beta_1 = \frac{\sum^n_{i=1} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}$$`

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## `$$\hat \beta_1 = \frac{\sum^n_{i=1} (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2} = \frac{Cov(x_1,y)}{Var(x_1)}$$`

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class: center middle main-title section-title-8 top-logo

## `$$\hat \beta_0 = \bar y = \hat{\beta_1} \bar x$$`

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**Profesora** Valentina Andrade de la Horra 
**Apoyo docente** Nicolás Godoy 
**Ayudantes** Moira Martinez y Charo Astorga
.tiny[Universidad Alberto Hurtado 
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