Transformaciones funcionales

Materiales de la sesión

Tal como en la sesión anterior, en este práctico se utilizarán los datos sobre precios de casas utilizados en el capítulo 6 del libro Introducción a la econometría de J.W. Wooldridge (2015). En este caso, cargaremos los datos ya procesados. Asimismo, la realización de este práctico requiere la carga de diversos paquetes que nos permitirán explorar los datos y presentar los modelos estimados.

if (!require("pacman")) install.packages("pacman") # Instalamos pacman en caso de necesitarlo

## Loading required package: pacman

pacman::p_load(wooldridge, #Para descargar los datos
               dplyr, #Para procesar datos
               ggplot2,#Para graficar
               sjmisc, #Para explorar los datos
               sjPlot, #Para explorar los datos
               texreg) #Para presentar el modelo de regresión estimado
data("hprice2")

a) Transformación funcional logarítmica a variable \(x\)

Una de las variaciones que podemos realizar es estimar el modelo transformando logarítmicamente uno de sus predictores. En este caso, implementaremos la transformación funcional sobre \(nox\).

\[ \begin{equation} price = \beta_0 + \beta_1log(nox) + \beta_2rooms \end{equation} \]

Estimemos el modelo con lm() y comparemos con el modelo original:

m2 = lm(price ~ lnox + rooms, data = hprice2)
screenreg(list(m1,m2), custom.model.names = c("Modelo 1", "Modelo 2"))

## 
## =========================================
##              Modelo 1       Modelo 2     
## -----------------------------------------
## (Intercept)  -18423.40 ***  -10237.60 *  
##               (3346.66)      (4125.88)   
## nox           -1884.68 ***               
##                (253.57)                  
## rooms          8178.56 ***    8162.07 ***
##                (418.08)       (417.94)   
## lnox                        -10951.41 ***
##                              (1457.92)   
## -----------------------------------------
## R^2               0.54           0.54    
## Adj. R^2          0.53           0.53    
## Num. obs.       506            506       
## =========================================
## *** p < 0.001; ** p < 0.01; * p < 0.05

En este caso, ambos modelos presentan los mismos valores en \(R^2\) y \(R^2\) ajustado. No obstante, es posible apreciar que los coeficientes de \(nox\) y \(log(nox)\) son diferentes. Lo mismo sucede con los coeficientes estimados para \(rooms\), que no analizaremos en este ejemplo. Interpretemos los dos primeros por separado:

• \(nox\): por cada unidad que aumente \(nox\), se espera que el precio mediano de las casas en cada comunidad disminuya en 1884.68 dólares en promedio.
• \(lnox\): por cada punto porcentual (1%) que aumente \(lnox\), se espera que el precio mediano de las casas disminuya, en promedio, 10951.41 dólares.

b) Transformación funcional logarítmica a variable \(y\)

¿Y si, en lugar de transformar logarítmicamente al predictor, lo hacemos con la variable predicha?

\[ \begin{equation} log(price) = \beta_0 + \beta_1nox + \beta_2rooms \end{equation} \]

m3 = lm(lprice ~ nox + rooms, data = hprice2)
screenreg(list(m1,m2, m3), custom.model.names = c("Modelo 1", "Modelo 2", "Modelo 3"))

## 
## =====================================================
##              Modelo 1       Modelo 2       Modelo 3  
## -----------------------------------------------------
## (Intercept)  -18423.40 ***  -10237.60 *      8.70 ***
##               (3346.66)      (4125.88)      (0.15)   
## nox           -1884.68 ***                  -0.12 ***
##                (253.57)                     (0.01)   
## rooms          8178.56 ***    8162.07 ***    0.31 ***
##                (418.08)       (417.94)      (0.02)   
## lnox                        -10951.41 ***            
##                              (1457.92)               
## -----------------------------------------------------
## R^2               0.54           0.54        0.51    
## Adj. R^2          0.53           0.53        0.51    
## Num. obs.       506            506         506       
## =====================================================
## *** p < 0.001; ** p < 0.01; * p < 0.05

En este caso, podemos darnos cuenta de dos cosas fundamentales:

• La magnitud de los coeficientes ha disminuido bastante. Esto se debe a que, ahora, las variaciones por unidad de \(x\) tendrán un efecto porcentual en la variación media de \(y\).
• Los estadísticos \(R^2\) de este último modelo son levemente inferiores que los estimados para los modelos previos. Esto nos indica que transformar funcionalmente las variables incorporadas en nuestro modelo puede afectar también su bondad de ajuste.

Así, podemos señalar que, por cada unidad que aumenta el promedio de habitaciones en las casas de cada comunidad, se espera que el precio de estas aumente, en promedio, un 31%. En estos casos denominamos a \(\beta_2*100\) como semielasticidad de \(price\) respecto a \(rooms\). No obstante, a medida que la variación de \(log(y)\) aumenta, se incrementa el error de aproximación que se realiza al estimar el efecto como %\(\vartriangle y \approx 100*\vartriangle log(y)\). Para ello, debemos ejecutar el siguiente procedimiento:

\[ \begin{equation} \%\vartriangle \hat{y} = 100 * [exp(\beta x) - 1] \end{equation} \]

En este caso:

\[ \begin{equation} \%\vartriangle \hat{y} = 100 * [exp(.31*1) - 1] = 100 * [1.363-1] = 100* 0.363 = 36.3 \% \end{equation} \]

c) Transformación funcional logarítmica a variable \(x\) e \(y\)

Por último, podemos incluso transformar funcionalmente a nuestras variables explicativas y explicada:

\[ \begin{equation} log(price) = \beta_0 + \beta_1log(nox) + \beta_2rooms \end{equation} \]

m4 = lm(lprice ~ lnox + rooms, data = hprice2)
screenreg(list(m1,m2, m3, m4), custom.model.names = c("Modelo 1", "Modelo 2", "Modelo 3", "Modelo 4"))

## 
## =================================================================
##              Modelo 1       Modelo 2       Modelo 3    Modelo 4  
## -----------------------------------------------------------------
## (Intercept)  -18423.40 ***  -10237.60 *      8.70 ***    9.23 ***
##               (3346.66)      (4125.88)      (0.15)      (0.19)   
## nox           -1884.68 ***                  -0.12 ***            
##                (253.57)                     (0.01)               
## rooms          8178.56 ***    8162.07 ***    0.31 ***    0.31 ***
##                (418.08)       (417.94)      (0.02)      (0.02)   
## lnox                        -10951.41 ***               -0.72 ***
##                              (1457.92)                  (0.07)   
## -----------------------------------------------------------------
## R^2               0.54           0.54        0.51        0.51    
## Adj. R^2          0.53           0.53        0.51        0.51    
## Num. obs.       506            506         506         506       
## =================================================================
## *** p < 0.001; ** p < 0.01; * p < 0.05

Podemos notar que, mientras los modelos 3 y 4 comparten los mismos estadísticos \(R^2\) y el mismo coeficiente para \(rooms\), los coeficientes estimados para \(nox\) y \(lnox\) sobre \(lprice\) son diferentes. Comparemos sus interpretaciones:

• \(nox\): por cada unidad que aumente la concentración de óxido nitroso en el ambiente de la comunidad, el precio mediano de sus casas disminuirá, en promedio, un 12%.
• \(lnox\): por cada punto porcentual (1%) que aumente la concentración de óxido nitroso en el ambiente de la comunidad, el precio mediano de sus casas disminuirá, en promedio, en un 72%.